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2013国家公务员考试数学运算之剩余定理应用

中公教育 2012-09-21 11:36:31

数学运算之剩余定理专题

【例1】一个数被3除余1,被4除余2,被5除余4,这个数最小是几?

【解析】题中3、4、5三个数两两互质。

则〔4,5〕=20;〔3,5〕=15;〔3,4〕=12;〔3,4,5〕=60。

为了使20被3除余1,用20×2=40;

使15被4除余1,用15×3=45;

使12被5除余1,用12×3=36。

然后,40×1+45×2+36×4=274,

因为,274>60,所以,274-60×4=34,就是所求的数。

【例2】一个数被3除余2,被7除余4,被8除余5,这个数最小是几?在1000内符合这样条件的数有几个.?

【解析】题中3、7、8三个数两两互质。

则〔7,8〕=56;〔3,8〕=24;〔3,7〕=21;〔3,7,8〕=168。

为了使56被3除余1,用56×2=112;

使24被7除余1,用24×5=120。

使21被8除余1,用21×5=105;

然后,112×2+120×4+105×5=1229,

因为,1229>168,所以,1229-168×7=53,就是所求的数。

再用(1000-53)/168得5, 所以在1000内符合条件的数有6个.

【例3】一个数除以5余4,除以8余3,除以11余2,求满足条件的最小的自然数。

【解析】题中5、8、11三个数两两互质。

则〔8,11〕=88;〔5,11〕=55;〔5,8〕=40;〔5,8,11〕=440。

为了使88被5除余1,用88×2=176;

使55被8除余1,用55×7=385;

使40被11除余1,用40×8=320。

然后,176×4+385×3+320×2=2499,

因为,2499>440,所以,2499-440×5=299,就是所求的数。

【例4】有一个年级的同学,每9人一排多5人,每7人一排多1人,每5人一排多2人,问这个年级至少有多少人 ?

【解析】题中9、7、5三个数两两互质。

则〔7,5〕=35;〔9,5〕=45;〔9,7〕=63;〔9,7,5〕=315。

为了使35被9除余1,用35×8=280;

使45被7除余1,用45×5=225;

使63被5除余1,用63×2=126。

然后,280×5+225×1+126×2=1877,

因为,1877>315,所以,1877-315×5=302,就是所求的数。

关于“中国剩余定理”类型题目的另外解法

“中国剩余定理”解的题目其实就是“余数问题”,这种题目,也可以用倍数和余数的方法解决。

【例一】一个数被5除余2,被6除少2,被7除少3,这个数最小是多少?

解法:题目可以看成,被5除余2,被6除余4,被7除余4 。看到那个“被6除余4,被7除余4”了么,有同余数的话,只要求出6和7的最小公倍数,再加上4,就是满足后面条件的数了,6X7+4=46。下面一步试下46能不能满足第一个条件“一个数被5除余2”。不行的话,只要再46加上6和7的最小公倍数42,一直加到能满足“一个数被5除余2”。这步的原因是,42是6和7的最小公倍数,再怎么加都会满足

“被6除余4,被7除余4”的条件。

46+42=88

46+42+42=130

46+42+42+42=172

【例二】一个班学生分组做游戏,如果每组三人就多两人,每组五人就多三人,每组七人就多四人,问这个班有多少学生?

解法:题目可以看成,除3余2,除5余3,除7余4。没有同余的情况,用的方法是“逐步约束法”,就是从“除7余4的数”中找出符合“除5余3的数”,就是再7上一直加4,直到所得的数除5余3。得出数为18,下面只要在18上一直加7和5得最小公倍数35,直到满足“除3余2”

4+7=11

11+7=18

18+35=53

【例1】在国庆50周年仪仗队的训练营地,某连队一百多个战士在练习不同队形的转换。如果他们排成五列人数相等的横队,只剩下连长在队伍前面喊口令。如果他们排成七列这样的横队,只有连长仍然可以在前面领队,如果他们排成八列,就可以有两个作为领队了。在全营排练时,营长要求他们排成三列横队。

以一哪项是最可以出现的情况?

A该连队官兵正好排成三列横队。

B除了连长外,正好排成三列横队。

C排成了整齐的三列横队,加有两人作为全营的领队。

D排成了整齐的三列横队,其中有一人是其他连队的

【解析】这个数符合除以5余1,除以7余1,除以8余2;

符合除以5余1,除以7余1的最小数为36,那么易知符合除以5余1,除以7余1,除以8余2为106,106÷3=35余1,所以选B。

【习题一】1到500这500个数字, 最多可取出多少个数字, 保证其取出的任意三个数字之和不是7的倍数。

【解析】

每7个数字1组,余数都是1,2,3,4,5,6,0,要使得三个数字之和不是7的倍数,那么其余数之和就不是7的倍数。

我们应该挑选 0,1,2,或者0,5,6

因为7/3=2 也就是说最大的数字不能超过2 ,例如 如果是1,2,3 那么 我们可以取3,3,1 这样的余数,其和就是7

500/7=71 余数是3, 且剩下的3个数字余数是1,2,3

要得去得最多,那么我们取0,1,2比较合适 因为最后剩下的是1,2,3 所以这样就多取了2个

但是还需注意 0 不能取超过2个 如果超过2个 是3个以上的话 3个0就可以构成7的倍数 0也能被7整除

所以答案是71个1,2 和剩下的一组1,2 外加2个0

71×2+2+2=146

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