行测数量关系解题技巧：一元二次函数求极值

例题

某商店出售A商品，若每天卖100件，则每件可获利6元。根据经验，若A商品每件涨1元钱，每天就少卖10件。为使每天获利最大化，A商品应涨价多少元。

【中公解析】题目中A商品的销量是随着价格而变化的，想让利润最大化，而利润=单件利润X数量，所以在这个题中，我们实际上是要求乘积的最大值。

每件涨1元，每天就少卖10件，那假设涨了X元，每天就会少卖10X件。

所以涨价后的利润=(6+X)(100-10X)

整理得： 利润=10(6+X)(10-x)，求这个一元二次方程得最大值。

根据前面的均值不等式，可以把6+X当成a，10-X当成b，

此时 利润=10ab

a+b=6+X+10-X=16为定值，那么在a=b时，ab最大，10ab也最大

解得a=b=8，X=2，涨价2元时，利润最大

例题

某汽车坐垫加工厂生产一种汽车坐垫，每套的成本是144元，售价是200元。一个经销商订购了120套这种汽车坐垫，并提出：如果每套坐垫的售价每降低2元，就多订购6套。按经销商的要求，该加工厂获得最大利润需售出的套数是多少?

【中公解析】这个题跟上一个题类似之处是同属利润问题，而不同点在于它是让我们求数量为多少，我们知道销量跟降价幅度是相关的，所以同样可以先把最大利润时的降价情况求出来，进而求出销量。

根据题目已知条件，每套的利润为200-144=56元，每降价2元，多卖6套，那假设降了2x元，则会多卖6套。

利润=单件利润X数量=(56-2x)(120+6X)=12(28-X)(20+X)

令28-X=a，20+X=b;a+b=28-x+20+x=48为定值，那在a=b时，ab最大，利润也最大。

此时a=b=24，X=4.

降价4X2=8元，最大利润时：售价=56-2X4=48，销量=120+6X4=144。

根据上面两个题的讲解，我们来总结一下一元二次方程的解题步骤：

1、根据题干中的条件列出方程;

2、把X前的系数变成相同的一正一负;

3、借助均值不等式性质求解。