教师资格证考试|初中数学学科知识:2.1不等式及其基本性质
第二章 不等式
核心考点提示
1.掌握不等式的基本性质,以及不等式证明的基本方法,熟记常见的重要不等式。
2.掌握求解常见不等式方程(分式不等式、值不等式、一元二次不等式、指数不等式、对数不等式等)的基本方法。
3.了解不等式的基本应用以及简单的线性规划问题的基本方法。
第一节 不等式及其基本性质
一、不等式的概念 ★
用不等号“>”“<”“≥”“≤”或“≠”连接两个代数式表示不等关系的式子叫不等式。不等式分为严格不等式和非严格不等式。
二、不等式的基本性质 ★
1.如果x>y,那么yy;(对称性)
2.如果x>y,y>z;那么x>z;(传递性)
3.如果x>y,而z为任意实数或整式,那么x+z>y+z;(加法法则)
4.如果x>y,z>0,那么xz>yz;如果x>y,z<0,那么xz
5.如果x>y,z>0,那么x÷z>y÷z;如果x>y,z<0,那么x÷z
6.如果x>y,m>n,那么x+m>y+n;(充分不必要条件)
7.a>b,ab>0?1/a<1/b;(倒数法则)
8.a>b,ab>0?an>bn(n∈N*且n>1);(乘方法则)
9.含有值不等式的性质:
(1)|a|+|b|≥|a+b|;
(2)|a|-|b|≤|a+b|;
(3)|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|。
三、不等式的证明 ★★★
(一)比较法
比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法)。
1.差值比较法
差值比较法的理论依据是不等式的基本性质:“若a-b≥0,则a≥b;若a-b≤0,则a≤b”。其一般步骤为:
(1)作差:观察不等式左右两边构成的差式,将其看作一个整体;
(2)变形:把不等式两边的差进行变形,或变形为一个常数,或变形为若干个因式的积,或变形为一个或几个平方的和,其中变形是求差法的关键,配方和因式分解是经常使用的变形手段;
(3)判断:根据已知条件与上述变形结果,判断不等式两边差的正负号,最后肯定所求证不等式成立的结论。
应用范围:当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法。
2.商值比较法
商值比较法的理论依据是:“若a,b∈R+,ab≥1,则a≥b;ab≤1,则a≤b”.其一般步骤为:
(1)作商:将左右两端作商;
(2)变形:化简商式到最简形式;
(3)判断商与1的大小关系,就是判定商大于1或小于1。
应用范围:当被证的不等式两端含有幂、指数式时,一般使用商值比较法。
(二)综合法
从已知条件或已经证明的不等式出发,根据不等式的性质、基本不等式或函数单调性直接证出待证不等式。
(三)分析法
从待证的不等式出发分析使这个不等式成立的充分条件,直至使不等式成立的条件都已具备,就可确定待证不等式成立,这种思想通常简单地称为“执果索因”。
(四)缩放法
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