教师资格证考试|初中数学学科知识:3集合与简易逻辑
第一节 集合的概念及表示方法
一、集合的概念 ★★
集合:某些指定的对象集在一起就成为一个集合.构成集合的每个对象(或成员)称为集合的元素.
空集:不含任何元素的集合叫做空集.
全集:如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集合就可以看作一个全集.
子集:对于两个集合A与B,如果A中任何一个元素都是集合B的元素,则集合A是B的一个子集.记作:A?B,或B?A.
真子集:对于两个集合A与B,若A是B的子集且B中至少存在一个元素不属于A,则称A是B的真子集,记作:A?B,或B?A.
交集:由n个元素所组成的集合,其子集个数为2n个,真子集的个数为2n-1个.
空集?是任何集合的子集.这个结论在解题时容易忽略.
集合通常用英语大写字母A、B、C…表示,它们的元素通常用英语小写字母a、b、c…表示.
如果a是集合A的元素,就说a属于A,记作a∈A,读作“a属于A”.如果a不是集合A的元素,就说a不属于A,记作a?A,读作“a不属于A”.
常用的数集及其符号:
N:非负整数集(或自然数集)
N*或N+:正整数集(或自然数集去掉0)
Z:整数集
Q:有理数集
R:实数集
二、集合的表示方法 ★
1.列举法
把集合的元素一一列举出来,并用大括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法.
2.描述法
用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.
具体方法是:在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.
3.区间表示法和图示法
4.韦恩(Venn)图
用一条封闭曲线(内部区域)直观地表示集合及其关系的图形称为韦恩图.
注:有限集常用列举法表示,而无限集常用描述法或区间表示法表示.
例 用列举法表示下列集合:
(1)小于10的所有自然数组成的集合;
(2)方程x2-2=0的所有实数根组成的集合;
(3)由大于10小于20的整数组成的集合.
解:(1)设小于10的所有自然数组成的集合为A,那么
A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
(2)方程x2-2=0有两个实数根2,-2,因此,用列举法表示为:
A={2,-2}.
(3)大于10小于20的整数有11,12,13,14,15,16,17,18,19,因此,用列举法表示为:
B={11,12,13,14,15,16,17,18,19}.
第二节 集合的运算
一、交集 ★
由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合,叫做集合A与B的交集,记为A∩B,即A∩B={x|x∈A,且x∈B}.
说明:两个集合求交集,结果还是一个集合,是由集合A与B的公共元素组成的集合.
二、并集 ★
由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做集合A与集合B的并集,记为A∪B,即A∪B={x|x∈A,或x∈B}.
说明:两个集合求并集,结果还是一个集合,是由集合A与B的元素组成的集合(重复元素只看成一个元素).
第三节 简易逻辑
一、四种命题的基本概念 ★★
1.在数学中,用语言、符号或者式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题,其中判断为真的语句叫做真命题,判断为假的语句叫做假命题.
2.一般地,对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个命题叫做原命题,那么另一个叫做原命题的逆命题.
3.如果原命题为“若p,则q”,则它的否命题为“若,则”.
4.四种命题之间的关系
5.四种命题的真假性
(1)原命题为真,它的逆命题不一定为真;
(2)原命题为真,它的否命题不一定为真;
(3)原命题为真,它的逆否命题一定为真.
例1把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题.
(1)正三角形的三内角相等;
(2)全等三角形的面积相等;
(3)已知a,b,c,d是实数,如果a=b,c=d,那么a+c=b+d.
解:(1)原命题:若一个三角形是正三角形,则它的三个内角相等.
逆命题:若一个三角形的三个内角相等,则这个三角形是正三角形(或写成:三个内角相等的三角形是正三角形).
否命题:若一个三角形不是正三角形,则它的三个内角不全相等.
逆否命题:若一个三角形的三个内角不全相等,那么这个三角形不是正三角形(或写成:三个内角不全相等的三角形不是正三角形).
(2)原命题:若两个三角形全等,则它们的面积相等.
逆命题:若两个三角形面积相等,则这两个三角形全等(或写成:面积相等的两个三角形全等).
否命题:若两个三角形不全等,则这两个三角形面积不相等(或写成:不全等的两个三角形的面积不相等).
逆否命题:若两个三角形面积不相等,则这两个三角形不全等.
(3)原命题:已知a,b,c,d是实数,若a=b,c=d,则a+c=b+d.
逆命题:已知a,b,c,d是实数,若a+c=b+d,则a与b,c与d分别相等.
否命题:已知a,b,c,d是实数,若a与b,c与d不分别相等,则a+c≠b+d.
逆否命题:已知a,b,c,d是实数,若a+c≠b+d,则a与b,c与d不分别相等.
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