2019年上半年教师资格笔试白皮书(数学)答案及解析
2019上半年全国教师资格笔试白皮书
(数学学科)
第四部分 千锤百炼
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)
1.【答案】B.解析:分母的x最高次数为9次,而分子的为7次,故分母次数更高,故值为0.
2.【答案】B.解析:该齐次线性方程组有非零解,那么他的行秩R<2,系数矩阵为:


12.【参考答案】好的教学活动,应是学生主体地位和教师主导作用的和谐统一.一方面,学生主体地位的真正落实,依赖于教师主导作用的有效发挥;另一方面,有效发挥教师主导作用的标志,是学生能够真正成为学习的主体,得到全面的发展.
启发式教学是处理好学生主体地位和教师主导作用关系的有效途径.教师富有启发性的讲授,创设情境、设计问题,引导学生自主探索、合作交流,组织学生操作实验、观察现象、提出猜想、推理论证等,都能有效地启发学生的思考,使学生成为学习的主体.
13.【参考答案】作为老师,我们应该正视学生在学习过程中出现的错误,立足于学生,和学生一起去探索、学习数学知识,真正发挥学生学习主体作用,要善于变“错”为宝,合理利用这些“错误”资源.首先要能够及时发现学生潜在的错误,并及时引导学生自查自纠,引导学生联系生活实际发现自己的问题,并且指导学生建立自己的错题集,争取以后少犯错.
三、解答题(本大题1小题,10分)

四、论述题(本大题1小题,15分)
15.(初级中学)【参考答案】
“预设”是?和设计,是教师在课前对教学进行的有目的、有计划的设想和安排.“生成”是生长和构建,是师生在与教学情境的交互作用以及师生对话互动中超出教师预设方案的新问题、新情况.因此,在新课程理念下的教学设计,应充分考虑学生的知识背景、生活经历与情感体验,在知识学习的过程中,吸引学生的主动参与,处理好预设与生成的关系,是激发学生学习兴趣,引导学生主动探究的关键.
在“勾股定理的应用”教学中这样设计了一堂课:准备了皮尺,把学生带到操场上,让学生分别在体育老师、校长那里获取篮板和教学楼的高度后,提出问题:在篮板的右上角有一只小鸟要飞到教学楼的左上角,请你利用皮尺和所学知识求出小鸟飞行的最短路径(篮板和教学楼的顶端不能到达).学生开始活动.有的测量篮板顶端与教学楼顶端的水平距离,有的在绘制几何图形,每一个同学都很认真,大家也很开心,乐在其中,课堂上洋溢着和谐、愉悦、轻松的气息.这堂课既训练了学生的数学“建模”思想,又让学生亲历了数学与生活、生产的关系.教学应当在预设与生成的和谐中发展,只有架起教学预设与动态生成和谐的桥梁,才能让智慧之火“激情”燃烧在课堂教学之中.
(高级中学)【参考答案】含义:数学思想方法是数学思想与数学方法的合称.所谓数学思想是指从具体的数学内容中提炼出来的对数学知识的本质认识,它在数学认识活动中被普遍使用,是建立数学理论和解决数学问题的指导思想.所谓数学方法是指在研究数学问题的过程中所采用的各种方式、手段、途径、步骤、程序等,它通过一些可操作的规则或模式达到某种预期的目的.
高中常用的思想:函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想、有限与无限的思想、或然与必然的思想.
例如,分类是一种重要的数学思想.学习数学的过程中经常会遇到分类问题,如数的分类,图形的分类,代数式的分类,函数的分类等.在研究数学问题中,常常需要通过分类讨论解决问题,分类的过程就是对事物共性的抽象过程.
教学活动中,要使学生逐步体会为什么要分类,如何分类,如何确定分类的标准,在分类的过程中如何认识对象的性质,如何区别不同对象的不同性质.通过多次反复的思考和长时间的积累,使学生逐步感悟分类是一种重要的思想.
学会分类,可以有助于学习新的数学知识,有助于分析和解决新的数学问题.
数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中,是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括.学生在积极参与教学活动的过程中,通过独立思考、合作交流,逐步感悟数学思想.
五、案例分析题(本大题1小题,20分)
16.(初级中学)【参考答案】
(1)一、缺少学生自主探索、动手实验的过程,比如问题三、四、五.
二、这种问答式的讲课方式,表面上看教师提出的问题学生都对答如流,没有任何障碍,但结果学生是否掌握了问题所在,学生的思维是否被激起?本应是学生发现的现象、能够提出的问题、可以总结的规律,只是让个别的学生来说、甚至是教师包办代替讲出来.得变量、常量概念时,怕学生不理解又在反复重复已得到的规律.
三、由于一直是教师在领着学生走,所以学生数学思考的时间不充分,一些在思维方面的问题没有暴露出来.比如说,问题四中半径与面积的关系表述,实际中可能会有相当一部分学生表示不出来或表示错误;问题三中受力后的弹簧长度是否可以任意伸长等.因此,要给学生一定的思考时间和思维空间,要减少“讲与听”,增加“说与做”,尝试“教与评”.
四、教师课堂问题的设置价值不大,仅仅为本课服务,教师没有真正理解编者的意图.以上五个问题是教材提供的素材,五个问题中都含有变量之间的的单值对应关系,通过讨论这些问题,不仅可以引出变量与常量的概念,而且也为后面引出变量间的单值对应关系进而学习函数的定义、用函数观点看方程(组)与不等式作了铺垫.变量之间的的单值对应关系,包括变量的取值限制教师没有讲出来.
(2)1.对于问题一和问题二的解决学生们有知识基础,可以自行解决,所以教学中,呈现问题一和问题二安排学生独立完成.之后追问:“根据自己的解题过程,你有什么发现?能归纳一下吗?”归纳①有两个量在变化,有不变的量(数值).②一个量变化另一个量随着在变化.③当一个量取一个确定的值时,另一个量的值随之确定.④当两个变化的量中一个量的值确定了,它就是一个一元一次方程.
2.问题三对于部分学生在理解上稍有困难,教师可以借助于实物演示,有条件的可以以小组为单位实物操作,在教师的指导下改变并记录重物的质量,观察并记录弹簧长度的变化.这样学生在动手实验的基础上,发现受力后的弹簧长度L=10+0.5x.此时教师可以追问:“在问题一和问题二中的发现还有吗?有新发现吗?”意在得出重量m的质量应该有限制,原因是弹簧的受力是有限度的.
3.有了问题三的探索过程,问题五完全可以放手让学生们以小组为单位、分工合作、独立完成.验证发现、得到新发现.
4.可以尝试让学生利用已有的经验编一道题,加强对所总结的理解.
(3)数学教学是数学活动的教学,使师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程.教师应该从学生的实际出发,创设有助于学生自主学习的问题情境,使其在学习的过程中发现问题、提出问题、解决问题.而在日常的教学中,一是刚给学生提出问题,学生还没来得及思考,就马上要求其回答,这样不仅浪费了学生课堂思考的时间,而且有效性很差.有的教师只对学生提出比较笼统的要求,学生不明白教师要他们干什么和要他们怎么干,这样,学生就失去了教师的有效指导.二是我们教师往往放手不够,学生在学习的过程中能够自主发现问题、提出的问题、解决的问题,往往是教师引导学生去说.
(高级中学)【答案】(1)课程的内容不仅包括数学的结果,也包括数学结果形成的过程和蕴含的数学思想方法,老师让学生独立思考处理好了直接经验与间接经验的关系,在教学活动中师生积极参与、交往互助、共同发展,在教学活动中学生独立思考,激发了学生学习的兴趣,鼓励学生的创造性思维,培养了学生良好的学习习惯,使学生掌握恰当的学习方法,而教师在学生提供完结果后给予矫正,使学生获得正确的知识,掌握了一题多解的方法.
(2)教师在此次教学过程中没有让学生自己总结得出结论,没有起到学生为主体,教师是学习的合作者、组织者和引导者的作用,教师板书总结就缺乏了学生积极参与,而在学习数学的过程中老师并没有给学生足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程.教师应该注重启发式教学和因材施教,教师应当处理好教授与学生自主学习的关系.引导学生独立思考、主动探索、合作交流,使学生掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法,获得基本的数学活动经验.
(3)数形结合、转化化归.
六、教学设计题(本大题1小题,30分)
17.(初级中学)【答案】
(1)直线、射线、线段的三维教学目标
知识与技能:理解两点确定一条直线的事实;掌握直线、射线、线段的表示方法及其联系和区别.
过程与方法:实例的引入、教师的引导、学生的实践、结论的形成,带领学生去发现生活中的数学,感觉数学的存在.
情感态度与价值观:通过前提引入从情感上拉近师生的距离,融洽课堂气氛.学生经历学习过程后,感受数学与现实生活的密切联系,感受数学从实际中来,而又服务于实际.
(2)直线、射线、线段特征的教学流程
<流程一>:
第一步:认识线段
首先:实例引入,拉紧的线和绷紧的弦,都可以看作什么?观察特征引发思考:线段有什么特点?得到结论:线段有两个端点,可以测量长度.学生举例能不能找到线段吗?(注意要指出线段的2个端点)
然后:操作活动画一条长4厘米的线段,介绍线段的字母表示方法.(例:线段AB)
第二步:认识射线
首先:观察特征将线段右边的这个端点去掉,让它向右边延长,再延长,无限延长.这个图形有什么特点?引出:射线有一个端点,向一端无限延伸.
然后:学生举例,形成表象如:手电筒的光束,汽车车灯的光束,探照灯的光束等.
最后:动手操作,发现规律从A点出发画一条射线.引发思考:能从A点出发再画一条射线吗?还能画吗?引导归纳:从一点出发可以画无数条射线.射线的表示方法.如射线AB.注意:端点处的字母标在前面.
第三步:认识直线
首先:观察特征将这条线段两边的端点都去掉,使这个图形可以向两端无限延长.图形有什么特点?它是什么图形,板书:直线没有端点,可以向两端无限延伸.
然后:动手操作,发现规律①任意画一条直线.介绍直线的两种表示方法.如:直线AB,直线l,②过一点O,能画直线吗?能画几条?③经过两点A、B,能画直线吗?能画几条?引导归纳:经过一点可以画无数条直线;经过两点只能画一条直线.
<流程二>:
第一步:动画演示引出直线、射线、线段的概念;
第二步:让学生举例说说生活中有哪些事物可以近似地看作直线、射线、线段;
第三步:学生通过观察课件,直观的感受并总结线段、射线、直线的联系与区别;
第四步:讲解线段、射线、直线的表示方法.
(3)线段、射线和直线的区别的教学流程
首先,讨论交流:直线、射线和线段有什么区别.出示讨论要求:①说一说:3种图形有什么不同;②用图或表格整理好.学生完成后交流点评.
直线、射线与线段的特点整理:

最后:给出图形分辨哪些是直线?哪些是射线?哪些是线段?
主要的数学思想方法:通过学生自主归纳体现了转化思想,将需要解决的问题,通过演绎、归纳等转化手段,归结为另一种相对容易解决或已经有解决方法的问题,从而使原来的问题得到解决.
通过图例体现了数形结合的思想,逐步完成对图形的认知建构.此外,三种图形认知的过程中,学生的操作体验,有助于学生感悟不同图形的特点,认识图形的性质.
(高级中学)【答案】
(1)教学的三维目标
知识与技能目标:理解等比数列的前n项和公式的推导方法;掌握等比数列的前n项和公式并能运用公式解决一些简单问题.
过程与方法目标:通过公式的推导过程,提高学生构造数列的意识及探究、分析与解决问题的能力,体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法,渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想.
情感态度与价值观目标:通过经历对公式的探索,激发学生的求知欲,鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新,磨练思维品质,从中获得成功的体验,感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美、数学的严谨美.
(2)教学的重难点
重点:会等比数列前n项和公式的推导过程,并会利用公式解相关题目.
难点:等比数列前n项和公式的推导及成立条件.
(3)教学过程:
环节一、课题引入
设置问题情景:(利用多媒体课件给出)
一个穷人到富人那里去借钱,原以为富人不愿意,哪知富人一口答应了下来,但提出了如下条件:在一个月(30天)中,富人第一天借给穷人1万元,第二天借给穷人2万元,以后每天所借的钱数都比上一天多一万;但借钱第一天,穷人还1分钱,第二天还2分钱,以后每天所还的钱数都是上一天的两倍,一个月后互不相欠.
穷人听后觉得挺划算,但怕上当受骗,所以很为难.请在座的同学思考一下,帮穷人出个主意吧!
环节二、新课讲授
在上面我们通过分析富人与穷人之间的交易条件,回答下列问题:
问题1:穷人这样在富人那借钱是不是真的划算呢?
问题2:如果穷人觉得不划算的话,会赔多少钱呢?你能不能列出式子呢?

环节四、小结作业
小结:同学讨论总结这节课学习的内容,并提出这节课学习的疑问,并总结等比数列求的公式.
作业:区分等比数列求和与等差数列求和的异同,总结等比数列求和与等差数列求和的公式.
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