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中公讲师解读:线性代数考研重点分析(一)

考研考试网 2014-07-02 11:38:02

从近些年考研试题中分析可以得到,在线性代数部分,重点为线性方程组以及矩阵性质中特征值等的计算。接下来我们就线性方程组进行简单的分析。

线性代数的入门学习就是:线性方程组。我们可以把线性方程组看作是线性代数的一个基石,我们是研究线性方程组来建立的线性代数这门学科。线性方程组的求解可以分为齐次线性方程组与非齐次线性方程组,其中每类中都有具体线性方程组求解和抽象线性方程组求解之分。方程组的数目s和未知数的个数n可以相同,也可以不同。

关于线性方程组的解,有三个问题值得讨论:(1)、方程组是否有解,即解的存在性问题;(2)、方程组如何求解,有多少个解;(3)、方程组有不止一个解时,这些不同的解之间有无内在联系,即解的结构问题。

斯消元法是求解线性方程组的基本也是直接的方法,其中涉及到三种对方程的同解变换:(1)、把某个方程的k倍加到另外一个方程上去;(2)、交换某两个方程的位置;(3)、用某个常数k乘以某个方程。我们把这三种变换统称为线性方程组的初等变换。任意的线性方程组我们都可以斯消元法来化解成为阶梯形方程组。阶梯形方程组我们可以直观的判断线性方程组解的情况。

矩阵表示出线性方程组,对该矩阵(如果是非齐次线性方程组,则是对其的增广矩阵)做相应的初等变化,我们可以将其化解为阶梯形矩阵,同样我们可以直观的得到其解的情况。

在判断线性方程组解的情况时,齐次线性方程组,我们只关心解的性,以及不情况下如何表示出所有解;非齐次线性方程组,我们首先要进行判断解是否存在,之后是性,以及通解的表示。

对于齐次而言,判断性的根本是r(A)与n之间的关系,如果r(A)=n 则该线性方程组的解;当r(A)

对于非齐次线性方程组而言,当系数矩阵的秩与增广矩阵秩不相等时,无解;当两者相等且等于n时,有解;当两者相等且小于n时,有无穷多的解。

再讨论过线性方程组解的情况后,我们接下来讨论,在线性方程组有无穷多解的情况下,如何表示这些解,也就是其通解的情况。

对于齐次线性方程组,当有s个向量都是其解,本身线性无关,且齐次线性方程组的任何一个解都能由这s个向量线性表出时,我们就称其为该齐次线性方程组的基础解析,同时该齐次线性方程组的通解可以由这s个向量的线性组合表示。

对于非齐次线性方程组而言,他的通解是由特解和基础解系构成,其中基础解系即为其对应的齐次线性方程组的基础解系。特解是符合非齐次线性方程组的一个解。通解可以表示为,特解与基础解系线性组合的和。

以上的讨论,我们大致对线性方程组的模块有了基本的了解,在中公考研的暑期强化阶段,我们还会对该部分有详细针对性更强的讲解。同时也提醒考生,该部分理解起来较为容易,但是每年都有同学在该部分丢分,究其原因是因为计算能力不足。所以在学习该模块时要勤于练习,强化自己的计算能力,不单单是能够解答正确,而且要求短时间内能够解答正确。

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