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强化阶段矩阵复习

考研考试网 2014-07-09 14:16:23

矩阵是线性代数的核心概念之一,而且也是每年考研试题中然会出现的内容,而且基本每年都会有一个单的选择题或者填空题来考察矩阵。但矩阵部分的知识点相对于其他章节较多,考点同样较多,有矩阵的运算、逆矩阵、初等变化、矩阵方程、矩阵的秩、矩阵的分块、矩阵等价等等。大纲对该部分的要求为,了解特殊矩阵如对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵等,并且了解其相关的性质;掌握线性代数的运算法则,逆矩阵的概念、性质及其可逆的充要条件,理解伴随矩阵概念,会计算伴随矩阵。对大纲的简单了解,我们不难发现,矩阵这一大模块中,逆矩阵是重中之重。对过往十年的试题深度分析,也会发现考察逆矩阵的频率远于其他知识。

所以同学们在强化阶段复习矩阵这一大模块时,要以逆矩阵为重,要能够从两个角度掌握逆矩阵,首先是可逆性的讨论,掌握矩阵可逆的等价条件,能够如矩阵的秩、行列式的值、特征值以及线性方程组中推导出矩阵可逆;其次就是能够准确快速的求解逆矩阵,在求解逆矩阵中,对于阶数不具体型行列式要能够初等变化准确快速求解,对于抽象性矩阵的逆矩阵要定义、等价条件以及伴随矩阵求。这是在学习逆矩阵中对同学们的基本要求。

同学们在暑期复习该模块时,要有针对性的复习,不单单是把之前做过的题目再做一次,或者随便找一本书,或者直接做试题都不是合理的。本阶段好能够首先对题目进行简单的分类和筛选,筛选题目的一些标准,首先针对性要强,比如在逆矩阵的求解中,要能够针对性的定义求解、伴随矩阵求解、初等变换、分块矩阵这样自己先把相关的题目放到一起,做完一类题目之后进行总结;其次选择题目难度上不要过大,如果一些题目十几分钟还没有思路,可能是这个题目考察的方向过于偏了,做题过程中要讲究效率;后在暑期阶段做题还要保证的一定的量,这一点无需多讲了。

同时在矩阵的这一个大模块中,矩阵对应的行列式计算是矩阵计算的基础,虽然每年直接考察矩阵的行列式的计算很少,但作为基础工具,在暑期阶段也要给予足够的重视。在这我们把行列式计算分为有限阶行列式计算和n阶行列式计算来归纳。有限阶行列式计算的常用方法有:利用行列式的性质把行列式中的元素化为尽可能多的零,然后用行列式定义进行计算,有时行列式能被化为特殊行列式(如三角行列式)进行计算。n阶行列式计算的常用方法有:可以先用上述有限阶行列式的方法(多化零、化三角行列式法),有时观察行列式可以发现行列式有某种特殊结构(如一个阶行列式可以表示成较低阶行列式的线性关系式),就可以根据此结构选用递推法、归纳法、拆项法、升阶法、利用范德蒙德行列式法等来计算。关于详细的行列式的求解方法,我们会在以后的文章中进行详细讲解,这儿只是简单的给同学们几个方向性的指导。

后,由于矩阵知识点相对较多,而且和其他的考点联系错综复杂,所以同学们要对这一模块的总结多用一些时间,好好理清楚这其中的联系,不单单是基础阶段的巩固知识,而是要让自己学的知识能够成系统性。比如讲到伴随矩阵,我们能够联系到,伴随矩阵与逆矩阵的关系,如果该矩阵不可逆,可以联系到伴随矩阵与矩阵乘积公式。在比如关于初等矩阵,我们不单单要知道其定义,连通它的逆矩阵形式,以及“左行右列”法则。

(本文作者为中公考研辅导老师——李森)

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