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根据导数图像确定函数的极值和拐点个数

考研考试网 2014-09-10 13:38:03

如何根据函数的图像确定函数的极值点和拐点,相信考生都知道怎么下手解题。但是,如果已知的是函数导数的图像,考生们又该如何下手呢?

在解答这个问题之前,我们先来回顾一下,什么叫做函数的极值点和拐点,所谓极值点指的是函数在该点的某个邻域内取得值的点,对于可导的函数而言,首先需要找出导数为零的点,随后依次检验这些点,如果在该点的左右两侧导数的符号改变,或者二阶导不为零,则该点为极值点,进一步说,二阶导大于零的点为极小值点,二阶导小于零的点为极大值点;拐点指的是连续函数的凹凸性改变的点,也可以看作是导函数的极值点,是导函数单调性的分界点,左右两边二阶导数符号不同。对于可导的函数而言,拐点处二阶导为零,且三阶导不为零。

所以,对于一个函数来说,已知该函数的导函数的图像,就可以图像的特殊点和变化趋势,找出极值点和拐点。

例如,2003年考研数一就对该知识点进行了考查,题目已知函数 在整个实数集上连续,下图为其导函数,求函数的极值点和拐点的个数。首先,我们来分析极值点,极值点指的是导数为零的点,或者不可导点,该图,我们可以看出导数为零的点有三个分别是图中的点1、点3、点5,其中,点3和点5处导数从负数变为正数,说明函数先减小后增加,为此这两个点均为极小值点,点1处导数由正变负,说明函数先增大后减小,即在该点处取得极大值。此外,在点4处函数是不可导的,但是该点处左右导数分别为正无穷和负无穷,也就是说在该点处函数值先增加后减小,可见该点处函数为极大值点,所以可知函数的极值点中,极大值点有两个,极小值点有两个。

这道题中,首先我们先找函数的驻点,找到了四个驻点,之后一一检查,分析驻点附近导数的符号变化情况,以终确定函数的极值点。

考试中本题只对极值点进行了考查,下面根据这个图,我们来找一下函数的拐点个数。前面说过,对于可导函数而言,拐点处的二阶导为零,从图中可以看出在点2和点4处函数可能为拐点,点2处,导函数的导数为零,即二阶导为零,或者说该点处导函数的单调性改变,则该点是函数的拐点。点4的附近,可以看出导函数先增加后减小,导数的单调性改变,则该点为函数的拐点。

上述分析可知,极值点和拐点实际就是代表着函数与导函数单调性变化的

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