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2015考研等数学之定积分的应用

考研考试网 2014-09-25 09:57:48

定积分的应用这部分知识可以说是等数学对于数一、数二和数三考生的一个分水岭,从这部分内容开始数一、数二和数三在考点范围的区别开始显现。虽然前几章内容中数一、二、三的考点也有不同的地方,但是差别很小,从本章开始它们的差别会越来越大。这里我们不是要去强调它们的区别,而是想告诉大家本章中数一、二、三在考点要求上的不同,让大家对于本章的学习有一个更明确的目标和方向。

首先我们说一下考试对于定积分应用这章的要求,要求主要有两个:1、对于计算公式的记忆。大家复习也应该发现了,这章需要大家记忆的公式是多的,这里要告诉大家的是我们记公式的时候不能死记硬背各个公式,而是需要抓住各个公式的本质;2、对微元法的掌握。微元法是本章我们使用的多的方法,也是大家须掌握的方法,大家一定要掌握微元法的思想:分割、近似、求和、取极限。

定积分的应用与导数的应用相比,综合性更强,题型也更多变,下面我们就来讨论定积分的具体应用。定积分主要有两方面的应用:在几何上的应用和在物理上的应用。物理上的应用包括求功、压力、质心、形心、引力、转动惯量等,这部分内容只有数一和数二的考生需要复习,其中复习的时候也只需要复习功、压力、质心、形心就可以了,因为后面的引力和转动惯量基本没在数学中考过。几何上的应用包括求平面图形的面积、旋转体的体积、平行截面面积为已知的立体体积、平面曲线的弧长以及旋转体的侧面积,其中数三的考生只需要看平面图形的面积、旋转体的体积和平行截面面积为已知的立体体积,所以这部分内容中数三的考生是比较轻松的,而数一、数二的同学就比较辛苦了。下面我们主要分析讨论数一、二、三都考的内容,也就是平面图形的面积、旋转体的体积和平行截面面积为已知的立体体积的计算方法。

首先我们看平面图形的面积。在定积分的应用里面,求平面图形的面积可以说是简单的,因为我们知道定积分的几何意义就是表示平面图形面积的代数和,所以要求平面图形的面积,只需要掌握定积分的计算方法,那么在计算平面图形的面积时就不会出问题。

我们再来看求简单几何体的体积,这一部分包括求旋转体的体积和平行截面面积为已知的立体体积,虽然看着是两方面的要求,但实际上我们只需要掌握一种类型的计算方法就可以了,也就是求平行截面面积为已知的立体体积。如下图所示:

大家在做定积分应用的题目时,关键不是记住这些公式,关键是要能够掌握这些公式的本质思想,只要理解了这些本质内容,在我们做题的时候就不用死记公式了,这样的话也可以提大家的学习效率。

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