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等数学知识点详解:集合的概念

考研考试网 2014-10-30 01:24:41

集合的概念

一般地我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫集合(简称集)。集合具有确定性(给定集合的元素须是确定的)和互异性(给定集合中的元素是互不相同的)。比如“身材较的人”不能构成集合,因为它的元素不是确定的。

我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合,用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素,就说a属于A,记作:a∈A,否则就说a不属于A,记作:aA。

⑴、体非负整数组成的集合叫做非负整数集(或自然数集)。记作N

⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。

⑶、体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。

⑷、体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。

⑸、体实数组成的集合叫做实数集。记作R。

集合的表示方法

⑴、列举法:把集合的元素一一列举出来,并用“{}”括起来表示集合

⑵、描述法:用集合所有元素的共同特征来表示集合。

集合间的基本关系

⑴、子集:一般地,对于两个集合A、B,如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素,我们就说A、B有包含关系,称集合A为集合B的子集,记作A B(或B A)。。

⑵相等:如何集合A是集合B的子集,且集合B是集合A的子集,此时集合A中的元素与集合B中的元素完一样,因此集合A与集合B相等,记作A=B。

⑶、真子集:如何集合A是集合B的子集,但存在一个元素属于B但不属于A,我们称集合A是集合B的真子集。

⑷、空集:我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作 ,并规定,空集是任何集合的子集。

⑸、由上述集合之间的基本关系,可以得到下面的结论:

①、任何一个集合是它本身的子集。即A A

②、对于集合A、B、C,如果A是B的子集,B是C的子集,则A是C的子集。

③、我们可以把相等的集合叫做“等集”,这样的话子集包括“真子集”和“等集”。

集合的基本运算

⑴、并集:一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A∪B。(在求并集时,它们的公共元素在并集中只能出现一次。)

即A∪B={x|x∈A,或x∈B}。

⑵、交集:一般地,由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A∩B。

即A∩B={x|x∈A,且x∈B}。

⑶、补集:

①集:一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素,那么就称这个集合为集。通常记作U。

②补集:对于一个集合A,由集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于集U的补集。简称为集合A的补集,记作CUA。

即CUA={x|x∈U,且x A}。

集合中元素的个数

⑴、有限集:我们把含有有限个元素的集合叫做有限集,含有无限个元素的集合叫做无限集。

⑵、用card来表示有限集中元素的个数。例如A={a,b,c},则card(A)=3。

⑶、一般地,对任意两个集合A、B,有

card(A)+card(B)=card(A∪B)+card(A∩B)

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