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2016考研数学复习指导:多元函数积分学

考研考试网 2015-01-14 01:30:10

多元函数积分学包括二重积分、三重积分、曲线积分和曲面积分,一直以来多元函数积分学积分都是考研等数学的重点,尤其是对数一、数三而言,更是重中之重,每年都至少会考一道大题,选择填空的题目也是以各种各样的形式出现,所以对于多元函数积分学的知识点须引起各位考生的重视。

有很多同学认为多元函数积分学比较难,事实上如果大家感觉到难的话,只能说你在上册数上欠的账太多了。多元函数积分学的知识往往是起点比较,但是落点比较低,只要你学好了一元函数积分学,那么多元函数积分学的知识只是手到擒来的事情。下面我就带着大家来看一下多元函数积分学的知识。

二重积分是三重积分的基础,是基于单积分发展起来的,它的几何意义就是求一个空间立体图形的体积。在建立了二重积分概念以后,三重积分是其自然的推广,没有本质折差别。在计算上看来,二重积分与三重积分都是终化为定积分来计算的,但三重积分不论是采用"先二后一"还是"先一后二",都要二重积分的计算,所以二重积分在多元函数积分学中有重要的作用,深入理解二重积分的概念,熟练掌握二重积分的计算方法,是学好多元函数积分学的关键。

三重积分是二重积分的进一步延拓,它的物理意义就是求一个空间立体图形的质量。对三重积分来说,计算的基本思路是转化为定积分,但计算的繁简取决于坐标系的选择,而坐标系的选择取决于积分区域的形状。一般来说,当积分区域是柱体、锥体或由柱面、锥面、旋转面与其他曲面所围成的空间立体时,宜利用柱面坐标变换计算;当积分区域是球体、锥体或球本省的一部分时,宜利用球面坐标变换计算;当积分区域是长方体、四面体或任意形体时,宜利用直角坐标计算。

曲线积分分为第一类曲线积分和第二类曲线积分,它的物理意义分别是平面曲线或者空间曲线的质量和变力做功。曲面积分也分为第一类曲面积分和第二类曲面积分,它的物理意义分别是空间曲面的质量和曲面的流量。曲线积分和曲面积分是数学一试卷考试的重点,每年考,经常是以解答题的形式来考查,其中对坐标的曲线积分、对坐标的曲面积分考查多,有的年份还会再考查一道客观题。

曲线积分和曲面积分这部分内容考试是以计算为主,无论是曲线积分还是曲面积分,都可以将曲线方程(或者曲面方程)代入被积函数进行化简,原因是对于曲线积分和曲面积分我们只是在曲线上和曲面上积分,而在曲线上、曲面上各积分变量之间的关系是恒定的。第一类曲线积分的性质与二重积分的性质类似,第一类曲面积分的性质与三重积分的性质类似,在计算时先利用性质化简,然后利用公式计算.第一类曲线积分和第一类曲面积分是不需要考虑方向的,而第二类曲线积分和第二类曲面积分是有方向的,所以在计算时,一定要注意符号的问题。

第一类曲线积分的计算主要是利用参数方程转化为定积分,第二类曲线积分的计算除了利用参数方程进行求解,还有一个考试的重点方法是利用格林公式,这是考试的重点。在利用格林公式时,一定要注意格林公式的条件。若积分曲线不是封闭曲线,需要添加辅助曲线构成封闭曲线;若所围的区域含有奇点(一阶导数不存在的点或者是不连续的点),则需要挖洞来挖掉奇点;若封闭曲线不是正向边界曲线,则需要出现负号。

对于多重积分,考试的时候更多的是以计算题的形式出现,并且大家要熟知多重积分的计算方法和使用范围,针对不同的题目使用不同的方法;另外,做题的过程中大家一定要细心,多重积分的计算往往比较复杂、比较繁琐,所以需要大家拥有比较强的计算能力和比较的计算效率。尤其是在曲线积分、曲面积分中格林公式和斯公式的应用,一定要注意公式成立的条件,不要盲目的进行使用和计算,然而考试的过程中,题目也往往利用大多数考生不注意格林公式和斯公式的使用条件,在公式的使用条件上为各位考生设置陷阱。

在多重积分的计算和考试过程中,有很多的考生因为不能画出积分区域而无法进行计算,这一点需要考生熟悉解析几何的知识,另外有一些题目也确实画不出积分区间,这个时候需要各位考生注意到被积函数的性质,如对称性等。

以上就是针对多元函数积分学的知识我为大家做到点拨,希望可以帮到大家。

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