2016考研数学:矩阵的相似对角化
定义1:设A和B为两个n阶方阵,如果存在一个n阶可逆矩阵P使得 ,则称矩阵A和B相似,记作 。
由相似的定义我们可以得到以下结论:
1:A与A相似
2:由A与B相似,可以得到B与A相似。
3:由A与B相似,B与C相似,可以得到A与C相似。

相似矩阵有这么多的共同性质,我们就希望相似把原本复杂的矩阵简单化,所以就有了矩阵相似对角化。
定义:对n阶方阵A,如果存在一个n阶对角矩阵 使得A与 相似,则称矩阵A可以相似对角化,并把 称为矩阵A的相似标准型。
我们得到矩阵可相似对角化的充要条件:
定理:n阶矩阵A可相似对角化的充要条件是矩阵A存在n个线性无关的特征向量。
推论:矩阵A有n个互不相同的特征值,则矩阵A可相似对角化。
定理:n阶矩阵A的特征值可相似对角化的充要条件是对任意特征值 , 线性无关的特征向量个数都等于 的重数。
推论:n阶矩阵A的特征值可相似对角化的充要条件是对任意特征值
的重数。
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