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2016考研线性代数核心知识点的相关思维训练

考研考试网 2015-08-04 10:00:22

2016考研学习交流群:410257364 2016考研学习交流群⑤

学好线代的关键要点在于“见一反三”,即面对同一个数学事实,都要能够从线性方程组、向量和矩阵三个角度来表述和理解它,以便于根据解决问题的需要选择合适的切入点。现将一些个人觉得比较锻炼思维的习题汇总如下,相信对这些题目涉及的命题及其推理过程进行深入思考,会有助于更进一步把握好线代的知识体系。

1、任何一个向量α=(a1,a2,。。。,an)都能由单位向量ε1=(1,0,。。。,0)、ε2=(0,1,。。。,0)、……、εn=(0,0,。。。,1)线性表出,且表示方式。

2、向量组α1,α2,…,αn中任一个向量αi可以由这个向量组线性表出。

3、判断下列说法正确性:(1)“向量组α1,α2,…,αn,如果有为零的数k1,k2,。。。,kn使得k1*α1+k2*α2+…+kn*αn=0,则α1,α2,…,αn线性无关。”(2)“如果有一组不为零的数k1,k2,。。。,kn,使得k1*α1+k2*α2+…+kn*αn≠0,则α1,α2,…,αn线性无关。”(3)“若向量组α1,α2,…,αn(n≥2)线性相关,则其中每一个向量都可以由其余向量线性表出。”

4、三维空间中的任意4个向量线性相关。

5、n+1个n维向量线性相关。

6、如果向量组α1,α2,α3线性无关,则向量组2α1+α2,α2+5α3,4α3+3α1也线性无关。

7、如果向量组α1,α2,α3,α4线性无关,判断向量组α1+α2,α2+α3,α3+α4,α4+α1是否线性无关。

8、如果向量β可以由向量组α1,α2,…,αn线性表出,则表出方式的充分要条件是α1,α2,…,αn线性无关。

9、设向量组α1,α2,…,αn线性无关,β=k1*α1+k2*α2+…+kn*αn。如果对于某个ki≠0,则用β替换αi后得到的向量组α1,…,α(i-1),β,α(i+1),…,αn也线性无关。

10、由非零向量组成的向量组α1,α2,…,αn(n≥2)线性无关的充分要条件是每一个αi(1〈i≤n)都不能用它前面的向量线性表出。

11、设α1,α2,…,αn线性无关,且(β1,β2,…,βn)=A(α1,α2,…,αn),则β1,β2,…,βn线性无关的充分要条件是A的行列式为零。

12、秩为r的向量组中任意r个线性无关的向量都构成它的一个极大线性无关组。

13、任一n维向量组若是线性无关的,那么其所含向量数目不会超过n。

14、如果n维向量构成的向量组α1,α2,…,αn线性无关,那么任一n维向量β可由α1,α2,…,αn线性表出。

15、如果任意的n维向量都可以由α1,α2,…,αn线性表出,那么α1,α2,…,αn线性无关。

16、如果秩为r的向量组可以由它的r个向量线性表出,则这r个向量构成的向量组就是它的一个极大线性无关组。

17、n个方程的n元线性方程组x1*α1+x2*α2+…+xn*αn=β对任何β都有解的充分要条件是它的系数行列式为零。

18、如果向量组α1,α2,…,αn和向量组α1,α2,…,αn,β有相同的秩,则β可以由α1,α2,…,αn线性表出。

19、r(α1,α2,…,αn,β1,β2,…,βm)≤r(α1,α2,…,αn)+r(β1,β2,…,βm)。

20、矩阵的任意一个子矩阵的秩不会超过原矩阵的秩。

21、如果m*n的矩阵A的秩为r,那它的任何s行组成的子矩阵A1的秩不会小于r+s-m。

22、如果一个n*n矩阵至少有n^2-n+1个元素为0,则这个矩阵不是满秩矩阵。

23、如果一个n*n矩阵至少有n^2-n+1个元素为0,那么这个矩阵的秩多是多少?

24、设η1,η2,…,ηt是齐次线性方程组的一个基础解系,则与η1,η2,…,ηt等价的线性无关的向量组也是方程组的一个基础解系。

25、设n元齐次线性方程组的系数矩阵的秩是r(r〈n),则方程组的任意n-r个线性无关的解向量都是它的一个基础解系。

26、设n元齐次线性方程组的系数矩阵的秩是r(r〈n),设δ1,δ2,…,δm是方程组的解向量,则r(δ1,δ2,…,δm)≤n-r。

27、设n个方程的n元线性方程组的系数矩阵A的行列式等于零,同时A至少存在一个元素的代数余子式A(kl)不为零,则向量(A(k1),A(k2),。。。,A(kn))是这个齐次线性方程组的一个基础解系。

28、设A1是s*n矩阵A的前s-1行组成的子矩阵,如果以A1为系数矩阵的齐次线性方程组的解都是方程a(s1)*x1+a(s2)*x2+…+a(sn)*xn=0的解,其中a(ij)是矩阵A的元素,则A的第s行可以由A的前s-1行线性表出。

29、n个方程的n元非齐次线性方程组有解当且仅当它对应的齐次方程组只有零解。

30、如果η1,η2,…,ηt都是n元非齐次线性方程组的解,并且有一组数u1,u2,…,un满足u1+u2+。。。+un=1,则u1*η1+u2*η2+…+ut*ηt也是方程组的一个解。

31、如果ν0是非齐次线性方程组的一个特解,η1,η2,…,ηt是它对应的齐次方程组的一个基础解系,令ν1=ν0+η1,ν2=ν0+η2,…,νt=ν0+ηt,则非齐次线性方程组的任意一个解可以表示为ν=u0*ν0+u1*ν1+u2*ν2+。。。+ut*νt,其中u0+u1+u2+。。。+ut=1。

32、设A是s*n矩阵,如果对于任意列向量η,都有Aη=0,则A=0。

33、两个n级上三角矩阵的乘积仍是n级上三角矩阵,且乘积矩阵的主对角元等于因子矩阵的相应主对角元乘积。

34、与所有n级矩阵可交换的矩阵一定是n级数量矩阵。

35、对任一s*n矩阵A,AA'和A'A都是对称矩阵。

36、两个n级对称矩阵的和仍是对称矩阵,一个对称矩阵的k倍仍是对称矩阵。

37、两个n级对称矩阵的乘积仍是对称矩阵的充分要条件是它们可交换。

38、对任一n级矩阵,A+A'都是对称矩阵,A-A'都是反对称矩阵。

39、任一n级矩阵都可以表示为一个对称矩阵和一个反对称矩阵之和。

40、如果A是n级对称矩阵,并且A*A=0,则A=0。

41、r(A+B)≤r(A)+r(B)。

42、如果一个矩阵的行(列)向量组是线性无关的,则称为行(列)满秩矩阵。如果一个s*n的矩阵A的秩为r,则有s*r的列满秩矩阵B和r*n的行满秩矩阵C存在,使得A=BC。

43、设A是n级矩阵,若AA'=E,则A的行列式为1或-1。

44、如果矩阵A可逆,则A*也可逆,求A*的逆阵。

45、可逆的对称矩阵的逆矩阵仍然是对称矩阵。

46、如果A^k=0,则A-E可逆,求其逆阵。

47、设A、B分别为s*n,n*m矩阵,如果AB=0,则r(A)+r(B)≤n。

48、设A是n级矩阵,且A≠0,则存在一个n*m的非零矩阵,使AB=0的充分要条件是A的行列式为零。

49、如果n级矩阵A满足A*A=E,则r(A+E)+r(A-E)≤n。

50、设A是一个s*n矩阵,β是任意一个s维向量,则n元线性方程组A'Ax=A'β一定有解。

51、设A是一个n级方阵,且r(A)=1,则A能表示成一个列向量与一个行向量的乘积。

52、设A是n级矩阵(n≥2),则A*的行列式等于A的行列式的n-1次方。

53、设A是n级矩阵(n≥2),则当r(A)=n时,r(A*)=n;当r(A)=n-1时,r(A*)=1;当r(A)〈n-1时,r(A*)=0。

54、设A、B分别是s*n,n*m的矩阵,则矩阵方程AX=B有解的充分要条件是r(A)=r(A,B)。

55、设A、B分别是s*n,n*m矩阵,则r(AB)≥r(A)+r(B)-n。

56、设C是s*r的列满秩矩阵,D是r*n的行满秩矩阵,则r(CD)=r。

其中55题难度较大,不作强求。另外补充说明一下,可能一开始大家完成这些题目的证明时有的需要在书面上推导,但熟悉了以后再重看的话,应该是可以仅凭头脑中的推理完成的,换句话说,我们的终目的是不动一纸一笔把这几十道题目的来龙去脉勾画清楚,所以前面提到是“思维的训练”,做到这一点的话,线代基本就可算是学到家了。

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