2022管理运筹学知识点:线性规划问题的几何意义及解的状态分析
(1)凸集:设有任意两点X(1)、X(2)在某个点集中,其中X(1)≠X(2),如果连接这两点的线段上所有的点也在这个点集之中,则称这个点集为凸集。
凸集定义的另外一种表示形式是:设K是n维欧氏空间的一个点集,若任意两点X(1)∈K、X(2)∈K的连线上一切点X(1) +(1-α)X(2)∈K(0≤α≤1),则称K为凸集。
不符合上述特征的点集不是凸集,称为凹集。
(2)极点或顶点:设K是一个凸集,再令X∈K,如果X不能用不同的两点X(1)∈K、X(2)∈K的线性组合X=X(1) +(1-α)X(2)∈K(0≤α≤1)表示,则称点X是K的一个极点或顶点,其直观意义就是X不是K中任何线段的内点。
(3) 基本解和基本可行解:在线性规划问题约束条件方程中,由与约束条件个数相等的若干个系数列向量组成的满秩矩阵叫基本矩阵。一个有n个变量m个约束(m≤n)的线性规划问题至多可以有Cnm个基本矩阵。
所谓满秩矩阵,就是给这个矩阵作行线性变换不会出现某一行元素全为零的情况(与方程组有关的线性变换不考虑列变换);
所谓矩阵的行线性变换就是给矩阵的某一行元素同乘以一个非零常数或给矩阵的某一行同乘以非零常数后再加到另一行,过程与我们中学学过的解方程组的消元法完全一致。
令不与基本矩阵中列向量对应的变量(这些变量就叫非基变量 )为零后,约束方程中剩余的与基本矩阵对应的变量就可唯一求得(这些变量就叫基变量),求得的这个解就叫基本解。简单的说,就是“通过基本矩阵求得的线性规划问题的解”。
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