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辽宁师范大学《高等代数》2022年硕士研究生入学考试自命题考试大纲

辽宁师范大学 2021-10-22 13:49:31

601《高等代数》考试大纲

注意:本大纲为参考性考试大纲,是考生需要掌握的基本内容。

第一部分 一元多项式理论

一、考核知识点

1、一元多项式

2、整除性与最大公因式

3、因式分解

4、复系数、实系数、有理系数多项式

二、考核要求

(一)一元多项式

1、熟练掌握:一元多项式及相关概念。

2、深刻理解:多项式的运算及与次数的关系。

3、简单应用:多项式的运算。

(二)整除性与最大公因式

1、熟练掌握:(1)多项式和整除及相关概念。(2)最大公因式及相关概念。

2、深刻理解:(1)整除的性质。(2)带余除法。(3)辗转除法。(4)最大公因式的性质。(5)互素的性质。

3、简单应用:(1)掌握带余除法。(2)计算最大公因式。(3)使用整除性质、最大公因式的性质、互素的性质处理多项式问题。

(三)因式分解

1、熟练掌握:(1)不可约多项式概念。(2)最小公倍式概念。(3)重因式、根、重根等概念。

2、深刻理解:(1)唯一分解定理。(2)不可约多项式的性质。(3)导数与重因式的关系。(4)次数与根的个数的关系。

3、简单应用:利用因式分解理论处理多项式的相关问题。

(四)复系数、实系数、有理系数多项式

1、熟练掌握:(1)复系数、实系数不可约多项式及因式分解定理。(2)本原多项式。

2、深刻理解:(1)实系数多项式虚根特征。(2)本原多项式性质。(3)有理系数多项与整系数多项式在可约性上的关系。(4)艾森斯坦因判别法。(5)综合除法。(6)有理系数多项式的有理根的判定。

3、简单应用:应用复系数、实系数、有理系数多项式理论处理相关问题。

第二部分  行列式

一、考核知识点

1、映射与变换

2、置换的奇偶性

3、行列式

4、克拉默法则

二、考核要求

(一)映射与变换

1、熟练掌握:映射、变换及相关概念。

2、深刻理解:映射的合成及运算律。

3、简单应用:判断具体映射的可逆性。

(二)置换的奇偶性

1、熟练掌握:置换奇偶性概念。

2、深刻理解:置换的表示方法。

3、简单应用:置换的运算、分解。

(三)行列式

1、熟练掌握:行列式的定义及相关概念。

2、深刻理解:行列式的性质。

3、简单应用:行列式的计算。

4、理    解:行列式的几何意义。

(四)克拉默法则

1、熟练掌握:克拉默法则内容。

2、深刻理解:克拉默法则的思想与证明。

3、简单应用:利用克拉默法则解线性方程组。

第三部分  线性方程组与线性子空间

一、考核知识点

1、消元法

2、向量组的线性相关性

3、线性子空间

二、考核要求

(一)消元法

1、熟练掌握:(1)矩阵。(2)初等变换。(3)线性方程组的有关概念。

2、深刻理解:消元法的全过程。

3、简单应用:解线性方程组。

(二)向量组的线性相关性

1、熟练掌握:线性表示、线性相关、线性无关等基本概念。

2、深刻理解:线性相关性的相应结论。

3、简单应用:判定向量组的线性相关性。

(三)线性子空间

1、熟练掌握:(1)线性子空间。(2)基与维数。

2、深刻理解:基对子空间的意义。

3、简单应用:(1)判定是否子空间。(2)确定基和维数。

第四部分  矩阵

一、考核知识点

1、向量组与矩阵的秩

2、线性映射及矩阵

3、矩阵乘积的行列式与矩阵的逆

4、矩阵分块

5、初等矩阵

二、考核要求

(一)向量组与矩阵的秩

1、熟练掌握:(1)向量组的线性表示、等价、极大无关组、秩等概念。(2)矩阵的行秩、列秩、子式、秩等概念。

2、深刻理解:(1)与向量组的秩相关的一些结论。(2)与矩阵的秩相关的一些结论。

3、简单应用:(1)求向量组的极大无关组。(2)求向量组和矩阵的秩。(3)利用矩阵的秩判断线性方程组解的状况。

(二)矩阵乘积的行列式与矩阵的逆

1、熟练掌握:(1)退化、非退化、可逆、非可逆、伴随等关于矩阵的概念。(2)可逆矩阵的求逆公式。(3)关系式:|AB|=|A||B|。

2、深刻理解:矩阵可逆与线性变换可逆性的关系。

3、简单应用:计算可逆矩阵的逆矩阵。

(三)矩阵的分块

1、熟练掌握:(1)矩阵分块的概念。(2)分块对角矩阵的概念。

2、深刻理解:矩阵运算对分块的要求。

3、简单应用:(1)对矩阵进行分块运算。(2)分块矩阵的运算。

(四)初等矩阵

1、熟练掌握:初等方阵的定义。

2、深刻理解:初等矩阵与初等变换的关系。

3、简单应用:(1)化矩阵为正规形。(2)用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵。

第五部分  线性空间与欧几里得空间

一、考核知识点

1、线性空间

2、欧几里得空间

二、考核要求

(一)线性空间

1、熟练掌握:(1)线性空间定义及性质。(2)子空间的和与直和的定义。

(3)维数定理。(4)同构。

2、深刻理解:(1)线性空间定义中的八条公理。(2)直和的判定条件。

(3)简单应用:判断子空间的和是直和。

(二)欧几里得空间

1、熟练掌握:(1)欧几里得空间及其相关概念。(2)正交变换及正交矩阵的概念。

2、深刻理解:(1)施密特正交化方法。(2)正交变换的判定条件和性质。(3)正交矩阵的判定条件和性质。

3、简单应用:(1)把线性无关向量变为标准正交向量组。(2)判断线性变换的正交性。(3)判断矩阵的正交性。(4)掌握欧氏空间中向量的度量性质。

第六部分  线性变换

一、考核知识点

1、线性空间的基变换

2、线性变换的矩阵的化简

二、考核要求

(一)线性空间的基变换

1、熟练掌握:过渡矩阵、相似矩阵的概念。

2、深刻理解:基变换对坐标的影响和对线性变换矩阵的影响。

3、简单应用:(1)正确使用坐标变换公式。(2)掌握线性变换的矩阵受基变换的影响。

(二)线性映射及矩阵

1、熟练掌握:(1)线性映射。(2)线性映射的运算。(3)矩阵的运算。

2、深刻理解:(1)线性映射及矩阵的运算规律。(2)线性映射与矩阵的对应关系。

3、简单应用:(1)线性映射的运算和矩阵的运算。(2)处理相关矩阵的某些问题。

(三)线性变换矩阵的化简

1、熟练掌握:特征值、特征向量、特征多项式、不变子空间、特征子空间等概念。

2、深刻理解:线性变换的矩阵的化简思想与方法。

3、简单应用:(1)判断具体线性变换是否可以对角化。(2)处理有关特征值、特征向量、不变子空间的一些问题。

第七部分  二次型

一、考核知识点

1、二次型基本性质

2、二次型的标准形

3、正定二次型

二、考核要求

1、熟练掌握:二次型及相关概念。

2、深刻理解:二次型的化简。

3、简单应用:(1)化二次型为标准形。(2)判断具体实二次型的正定性。

第八部分  多项式矩阵

一、考核知识点

1、多项式矩阵

2、若尔当典范形理论

二、考核要求

(一)多项式矩阵

1、熟练掌握:(1)多项式矩阵。(2)初等变换与初等多项式矩阵。(3)多项式矩阵的正规形。

2、深刻理解:初等多项式矩阵的意义。

3、简单应用:化多项式矩阵为正规形。

(二)若尔当典范形理论

1、熟练掌握:(1)行列式因子。(2)不变因子。(3)初等因子。

2、深刻理解:(1)行列式因子、不变因子、初等因子之间的关系。(2)矩阵相似的判定条件。

3、简单应用:化矩阵为若尔当典范形。

参考书目:高等代数,北京大学数学系代数小组编,高等教育出版社,2019年5月,第五版。

原标题:辽宁师范大学2022年硕士研究生招生考试参考大纲

文章来源:https://master.lnnu.edu.cn/webroot/master/fbxx/20210916/61630.html

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