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一元二次函数之公式法、配方法及因式分解法

2019-02-19 14:49:53

本篇内容中公事业单位(www.zgsydw.com)提供数量关系知识《一元二次函数之公式法、配方法及因式分解法》。

一元二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0),在数学运算中会涉及这样的问题:当x取何值时,y取到最值(最大值或最小值)。一元二次函数的图象是抛物线,如下所示,可见当a>0时,y有最小值,当a<0时,y有最大值。

1.公式法

一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),当x=-b/2a时,y取到最大值或最小值,为4ac-b2/4a.。

【举例说明】已知一元二次函数y=2x2+20x+1200,利用公式法,求y的最值。

a>0,则当x=时,y取最小值=1150(或2x(-5)2+20x(-5)+1200=1150)。

2.配方法

一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),可以通过变形,将其写为y=a(x-k)2+m的标准形式,则根据(x-k)2≥0,可知当x=k时,y取到最大值或最小值,为m。

中公点评(www.zgsydw.com):其实

【举例说明】已知一元二次函数y=2X2+20X+1200,利用配方法,求y的最值。

可知当x=-5时,y取得最小值1150。这与用公式法求解的结果是相同的。

3.因式分解法

如果在解题过程中,出现类似于y=(x-5)5x+15)的情况,则不必将等号右边展开,然后再根据公式法求解。此时的最简做法如下:

由第一个括号x-5=0,得x=5;由第二个括号5x+15=0,得x=-3;由对称性可得,使y取到最值的x在这两个数中间,[5+(-3)]÷2=1。即当x=1时y取最小值(1-5)x(5+15)=-80。

事实上,x=5、x=-3是一元二次方程(x-5)(5x+5)=0的两个根。y=(x-5)(5x+15)=5x2-10x-75,此法相当于将5x2-10x-75进行了因式分解,故这一方法称为因式分解法。

中公点评(www.zgsydw.com):并不是所有的一元二次方程都有两个根,故这一方法通常只在类似于上述解题情境中使用。

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