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事业单位行政职业能力测验数量关系:“最大最小”不要怕,均值不等式来帮忙

中公事业单位考试题库 2021-08-24 11:42:25

在数学运算的题目中,求最大、最小的题目,就是我们常说的极值问题。常见的极值问题比如有和定最值、最不利问题,还有一类常见的就是今天要和大家分享的利用均值不等式求极值问题。

要想利用均值不等式来求解极值问题,首先要学会均值不等式的两条结论:

1. 两个数的和一定,则两个数的差越小,这两个数的乘积越大;

2. 两个数的乘积一定,则两个数的差越小,这两个数的和越小。

比如:已知a+b=10,求ab的最大值。

在这道题目中,a和b的和一定,为10,现在要求其乘积的最大值,根据均值不等式的结论,当且仅当这两个数相等时,这两个数的差最小,此时乘积将会取得最大值,所以,当a=b=5时,ab取得最大值为25。接下来看一道例题。

例:某商品以100元每件出售时,可卖出60件。现在降价出售,每降价5元,多卖出10件,问当售价为多少元时,销售额取得最大值。

A.60 B.65 C.70 D.75

本题中求销售额的最大值,根据利润问题公式,总销售额=单价x销量。由于降价是以5元为最小单位,不妨设价格降低5x,则可多出售10x,若总销售额用y表示,则可列出方程为:y=(100-5x)x(60+10x),所求即为函数y的最大值。观察一下这个函数不难发现,函数y相当于两个数的乘积,根据均值不等式结论,要想求两个数乘积的最大值,那么当且仅当两个数的和为定值时,两个数相等的条件下取得。这两个相乘的数分别为(100-5x)和(60+10x),很明显,其和为160+5x,不是定值。此时我们可以把第一个式子提取一个5,第二个式子提取一个10。此时y=50(20-x)x(6+x),此时y的最大值与50无关,只要两个括号中的式子乘积取得最大值即可,再次观察两个式子,做和为26,是定值,此时只要保证这两个带括号的式子差尽可能小,即最小为相等时,它们的乘积将会取得最大值。即当(20-x)=(6+x)时,乘积取得最大值,此时解得x=7。即降价5x=35元,此时售价为100-35=65元。正确选项为B。

均值不等式在数学运算题目中应用非常广泛,特别在求极值题目中,解题效率较高。所以希望同学们能记住均值不等式两个结论,并在题目中多做练习。

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