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2014天津市考行测:用不等式1分钟解决青蛙跳井题

中公教育 2014-02-21 13:25:40

在行测考试数学运算中,青蛙跳井问题是困扰我们很多考生的难题,同时,青蛙跳井问题灵活多变,可以与行程问题、工程问题相结合,增加了题目难度,常使很多考生无从下手,下面中公教育结合具体的例子给大家做一详细的讲解,让大家掌握该题型的解题方法,一分钟内即可解决青蛙跳井问题。

一、基本青蛙跳井问题

我们先由一道简单的例题认识一下青蛙跳井问题。

例题:现有一口高10米的井,有一只青蛙坐落于井底,青蛙每次跳的高度为5米,由于井壁比较光滑,青蛙每跳5米下滑3米,这只青蛙跳几次能跳出此井?

A.4 B.5 C.6 D.7

【中公解析】B。

方法一:枚举法

此题比较简单,可以通过枚举法快速得到答案,但仅仅用该方法显然不能满足目前考试的需要,因为实际考试中,数据可能会较大,枚举过于耗时,枚举情况过多时也容易马虎出错,所以在此讲述此方法主要是为了便于大家理解青蛙跳井的整个过程。

青蛙跳井问题关键特征:周期性、周期内有正有负。

我们讲这个例子主要是为了得出针对此类问题,简单但适用性更强的解题方法-不定方程。

方法二:不等式法

先来分析一下青蛙跳井问题,青蛙不停地上跳下滑,一直在做周期性运动,我们可以把上跳1次下滑1次看做1个周期;不管最终青蛙跳几次才能跳出此井,有一点是确定的,第一次跳出井口的时,它是在上跳的过程中,而不可能是在下滑的过程中,那么扣除最后1次跳出井口,其它恰好是完整周期,当最后一次下滑后,青蛙距离井口的高度≤跳1次能完成的高度时,青蛙再跳1次,即可跳出井口。

以此题为例,我们假设青蛙运动x个周期后,再跳1次,即可跳出井口。

青蛙每运动1周期能上移2m,运动x个周期后,上移(2x)m,此时距离井口的高度为10-2x≤5,解得x≥2.5,所以x=3,也就是青蛙运动3个周期后,再跳1次,即可跳出井口,与我们前面枚举法做出来的结果相同,但就通过解不等式,就省却了枚举的过程,计算量小,用时短,不易出错。

总结一下解题方法:

1.找到周期。分析每周期情况:上跳1次下滑1次为1周期,每周期完成高度2m,每周期完成高度的最大值5m。

2.解不等式。假设青蛙运动x个周期后,再跳1次,即可跳出井口。运动x个周期后剩余高度=总高度-每周期完成高度×x≤每周期完成高度的最大值,解出周期数。

3.计算次数。x个周期所用次数+x个周期后剩余高度所用次数,两部分分别计算相加。

再来做一题,练习一下不等式法解决青蛙跳井问题。

例题:现有一口高40米的井,有一只青蛙坐落于井底,青蛙每次跳的高度为4米,由于井壁比较光滑,青蛙每跳4米下滑1米,这只青蛙跳几次能跳出此井?

A.11 B.12 C.13 D.14

【中公解析】C。

1.找到周期。分析每周期情况:上跳1次下滑1次,每周期完成高度3m,每周期完成高度的最大值4m。

2.解不等式。假设青蛙运动x个周期后,再跳1次,即可跳出井口。运动x个周期后剩余高度=40-3×x≤4。解出x≥12,所以运动了12个周期。

3.计算次数。12个周期所用次数12次+12个周期后剩余高度所用次数1次=13次。

二、青蛙跳井与工程问题相结合--增减交替合作求时间

在行测考试中,青蛙跳井问题常与工程问题结合,虽然看似题目的难度增大了,但其实只是题目表面变花哨,只要我们看出题目的本质为青蛙跳井问题,利用不等式法,仍可快速解答。

例题:一个水池有甲乙两个进水管,一个丙出水管,单开甲管6小时注满;单开乙管5小时注满;单开丙管3小时放完;水池原来是空的,如果按照甲乙丙的循环轮流开放三个水管,每轮中各水管均开放1小时,那么经过多少小时后水池的水注满?

A.59 B.60 C.79 D.90

【中公解析】A。假设水池总水量I=30,则甲管的效率是5,乙管的效率是6,丙管的效率是-10。

此题中,水管一直在做周期运动,甲乙丙依次开放1h为1周期,周期内有正有负,此题为典型的青蛙跳井问题。同样,水池注满时应该是在甲或者乙管注水时,

1.找到周期。分析每周期情况:甲乙丙依次开放1h为1个周期,每周期完成注水量1,每周期完成注水量的最大值11。

2.解不等式。假设x个周期后,甲或者乙再注水若干,即可注满水池。x个周期后剩余水量=总水量-每周期完成注水量×x≤每周期完成注水量的最大值。30-1×x≤11,x≥19,所以注水19个周期,19个周期后剩余水量11。

3.计算时间。19个周期所用时间19×3h+19个周期后剩余水量所用时间2h(甲乙各注水1小时)=59h。

三、青蛙跳井与行程问题相结合--快慢交替追及求时间

例题:甲乙两人计划从A地步行去B地,乙早上7:00出发,匀速步行前往,甲因事耽搁,9:00才出发。为了追上乙,甲决定跑步前进,跑步的速度是乙步行速度的2.5倍,但每跑半小时都需要休息半小时,那么甲什么时候才能追上乙?

A.10:20 B.12:10 C.14:30 D.16:10

【中公解析】C。设乙的速度是2,则甲的速度是5,乙早出发2h,甲出发时,甲乙两人相距4,甲比乙多跑4就能追上乙。甲每跑半小时都需要休息半小时,则前半小时,甲比乙多跑5×0.5-2×0.5=1.5,后半小时,甲比乙多跑0-2×0.5=-1,每1小时为1个周期,周期内有正有负,此题为典型的青蛙跳井问题。同样,甲追上乙,应该是在前半个小时,甲在跑步过程中追上乙。


 

1.找到周期。分析每周期情况:前半小时,甲比乙多跑1.5,后半小时,甲比乙少跑1。每周期甲比乙多跑0.5,每周期甲比乙最多多跑1.5。

2.解不等式。假设x个周期后,甲在前半个小时跑步时追上乙,x个周期后剩余距离=总距离-每周期追上距离×x≤每周期甲比乙多跑的最大值。4-0.5×x≤1.5,x≥5,所以周期数为5,5个周期后甲乙之间剩余距离为1.5。

3.计算时间。5个周期所用时间5×1h+5个周期后剩余距离所用时间0.5h=5.5h。

上面的例题讲解中,并没有简单的只给大家一个不等式,而是把做题的思考、分析过程以及步骤做了详细的讲解,便于大家快速理解并掌握该方法。

通过中公教育以上的讲解可以明显看出,只要把握住青蛙跳井问题的本质-周期性、周期内有正有负,利用不等式法,只需进行简单的计算,完全可以在一分钟内解决青蛙跳井问题。

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