2017江西公务员考试行测备考:“隔板法”解决同素分堆问题
2017年的国考即将到来,现在备考时间相对较长,中公教育在这里给大家分享行测数量关系中大家觉得最难的一部分——排列组合中的同素分堆。
同素分堆问题是求方法数问题的一种基本题型。它的最基本的模型是:
“把n个相同的元素分成m堆,每堆至少1个,问有多少中不同的分法?”
这里的“同素”即“相同的元素”,在这个模型中,最关键的是“每堆至少1个”这句话,必须是每堆至少一个,才可用我们接下来要讲的解决这类问题的方法:隔板法。
【例1】把10本相同的书分给3个班级,每班至少1个,问有多少种不同的分法?
【中公解析】本题中“同素”:是10本相同的书,故n=10;分给3个班级:即将书分成3堆,故m=3;每班至少1本。故本题为同素分堆问题的最基本的模型。
【解决方法】隔板法。把10本书排成一排,因为书是相同的,不存在排列顺序问题。要把这10本书分成三堆,只要在这10本书形成的空隙中插入2个隔板即可。10本书排成一排,形成了11个空。但是,因为要求每班至少分一本书,所以最前面的空和最后一个空是不能插板的,则只能在中间形成的9个空中插入2个隔板,即从9个空中选择2个空插入隔板。即
种,也即把10本相同的书分给3个班级,每班至少1个,共有
种方法。
【例2】把10本相同的书分给3个班级,每班至少2本,问有多少种不同的分法?
【中公解析】题干要求的是“每班至少2本”。而应用隔板法解决同素分堆问题时,要求必须是“每堆至少1个”。因此想办法把“每班至少多于1个”转化成“每堆至少1个”,可以通过先每班分一本书,然后还剩7本书,此时题目转化成“把7本相同的书分给3个班级,每班至少一本,问有多少中不同的分法?”故有
种不同的分法。
【例3】把10本相同的书分给3个班级,三个班级分得的书数分别不小于1,2,3,问有多少种不同的分法?
【中公解析】应用隔板法解决同素要求必须是“每堆至少1个”。因此想办法把“每班至少多于1个”转化成“每堆至少1个”。其中三个班级先分别给0,1,2本书,然后还剩7本书,此时题目转化成“把7本相同的书分给3个班级,每班至少一本,问有多少中不同的分法?”故有
种不同的分法。
【中公小结】把n个相同的元素分成m堆,每堆至少1个,有
不同的分法。然而,行测考试中直接考察这个公式的很少,题干中所给的条件不在是“每堆至少1个”,而是“每堆至少多于1个”,当问题这样变形后,就不能直接用隔板法解决了。在应用隔板法解决同素分堆问题时,一定要区分题干中要求是“每堆至少分多少”。如果是“每堆至少分1个”,可直接应用隔板法解题;如果“每堆至少分的多于1个”,则应该将其转化为“每堆至少分1个”的情况,再应用隔板法。
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